2009年4月10日星期五

菲波那契数列

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菲波那契数列指的是这样一个数列:
1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和
它的通项公式为:[(1+√5)/2]^n /√5 - [(1-√5)/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性
比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了菲波那契数列 的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值